- Co říká CLT?
- Co je to standardní chyba?
- Co je to konfidenční interval?
- Jak na základě CLT počítáme konfidenční interval?
CLT - shrnutí
Jak na základě CLT počítáme konfidenční interval?
- Provedeme bodový odhad (k tomu CLT nepotřebujeme).
- Od něj odečteme (spodní hranice) a přičteme (horní hranice) “chybu odhadu” (margin of error).
- Chyba odhadu? Na základě CLT pomocí z-skoŕu normálního rozdělení
\[ CI = \bar{X} \mp z*SE \]
Kde se bere hodnota z?
Z-skór normálního rozdělení pro \(\alpha/2\), kde:
\[ \alpha = hladina\;významnosti = (100 - hladina\;spolehlivosti)/100 \]
- Například pro 95% interval spolehlivosti je hladina spolehlivosti 95 %
- Tedy \(\alpha = 0,05\) a \(\alpha/2 = 0,025\)
Hledáme tedy Z(0.025), např.v Excelu: =NORM.INV(0,975;0;1), což vrátí hodnotu 1,96.
Chyba odhadu pomocí Studentova t rozdělení (NADSTAVBA)
Pokud má náhodná proměnná normální rozdělení, pak konfidenční interval získáme dle následujícího vzorce:
\[ CI = \bar{X} \mp t * SE, \]
kde samozřejmě opět platí, že:
\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]
t je hodnota t-rozdělení (vyčteme z tabulek) pro daný počet stupňů volnosti (degrees of freedom). DF = n - 1.
Co ovlivňuje šíři konfidenčního intervalu?
- Počet pozorování ve výběrovém souboru (N)
- Variabilita v populaci
- Požadovaná úroveň spolehlivosti
Cvičení: Jak konstruovat interval spolehlivosti pro binární proměnnou?
Návrat k příkladu příznivců trvalé hybridní výuky.
- X … proměnná, zda příznivec hybridní výuky (1), nebo ne (0). Pr(X=příznivec) = \(p_X\).
- Výběrový soubor n = 200
- Počet příznivců ve výběrovém souboru = 40
- OTÁZKA: Jaký je bodový a intervalový odhad (90% konfidenční interval) hodnoty \(p_X\)?
Doporučený postup:
- Jakou pravděpodobnostní distribuci má proměnná X?
- Jak z pozorovaných dat nalezneme bodový odhad očekávané hodnoty této distribuce?
- Jak nalezneme rozptyl této distribuce?
- Jak směrodatnou ochylku?
- Jakou pravděpodobnostní distribuci má bodový odhad očekávané hodnoty? Proč?
- Jaká je směrodatná odchylka pravděpodobnostní distribuce bodového odhadu očekávané hodnoty?
- Jaká je Z-hodnota pro 90% konfidenční interval?
Co je to vlastně pravděpodobnost?
Co je to vlastně pravděpodobnost?
Paradox: experti se shodnou na “matematice” pravděpodobnosti, ale neshodnou se na tom, co to pravděpodobnost vlastně je.
- Klasická definice: Poměr počtu jevů “úspěšných” dělený celkovým počtem možných jevů za předpokladu, že všechny jevy jsou stejně pravděpodobné.
- Frekventistická definice: Výskyt jevu v nekonečné sérii stejných experimentů. Jádro mainstreamové statistiky.
- Subjektivní pravděpodobnost: Úsudek konkrétní osoby o konkrétní situaci založený na informacích, které má tato osoba k dispozici. Lze interpretovat jako sázkový kurz (u malých sázek). Jádro bayesovské statistiky.
Jak interpretovat pravděpodobnost?
Pr(na minci padne hlava) = 0.5
- Frekventisté: Pokud bychom mnohokrát hodili touto mincí, v 50 % by padla hlava.
- Bayesiánci: Na to, že padně hlava, bych vsadil s kurzem 1:1.
Jak se liší jejich přístup ke statistice?
Populační parametr
- Frekventisté: Populační parametr je jedna fixní (většinou neznámá) hodnota.
- Bayesiánci: Populační parametr je hodnota, která se s určitou pravděpodobností vyskytuje v daném intervalu.
Intervalové odhady
- Frekventisté: Interval spolehlivost je interval, který bude napříč velkým počtem vzorků obsahovat skutečnou hodnotu (populační parametr) s danou pravděpodobností.
- Bayesiánci: Interval kredibility je interval, který s danou pravděpodobností obsahuje skutečnou hodnotu (populační parametr).
Frekventisté vs. Bayesiánci - konkrétní příklad
Jak interpretovat, že podpora politické strany má 95% interval spolehlivosti <26 %; 29 %>?
- Frekventisté: Pokud bychom opakovaně tahali velké množství vzorků stejné velikosti z populace a pro každý z nich spočítali 95% interval spolehlivosti, 95 % z nich by obsahovalo skutečnou hodnotu podpory strany. Rozpětí těchto intervalů by mělo cca 3 procentní body.
- Bayesiánci: Na 95 % je skutečná podpora strany něco mezi 26 a 29 procenty