Podmíněná pravděpodobnost

  • Jaká je pravděpodobnosti jevu A, když víme, že nastal jev B?
  • Značíme \(P(A|B)\)

Podmíněná pravděpodobnot vizuálně

Zdroj Wiki

Dvě čtyřstěnné kostky

Jaká je pravděpodobnost, že součet hodnot bude rovný šesti, pokud na jedné z kostek padlo číslo menší než tři?

\(P((K_1 + K_2 = 6) | (K_1 < 3\;OR\;K_2 < 3))\)

Vzorec podmíněné pravděpodobnosti

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Klasický příklad podmíněné pravděpodobnosti

Při screeningu rakoviny prsu je mamografie zhruba z 90 % přesná v tom smyslu, že 90 % žen s rakovinou a 90 % žen bez rakoviny bude správně klasifikováno. Předpokládejme, že 1 % vyšetřovaných žen má skutečně rakovinu: jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žena bude mít pozitivní mamograf, a pokud ano, jaká je šance, že má skutečně rakovinu?

Řešení pomocí vzorce

P(A) … rakovina

P(B) … pozitivní test

\(P(B)\) … 0.99 * 0.1 + 0.01 * 0.9 = 0.108 = ca 10.8 %

\(P(A \cap B)\) … 0.01 * 0.9 = 0.9 %

\(P(A|B)\) = 0.9/10.8 = ca 8 %

Řešení skrze očekávané četnosti

Co by se stalo ve velké skupině, řekněme 1000 žen?

  • 990 nemá rakovinu, z nich 10 %, tedy 99 dostane pozitivní nález
  • 10 má rakovinu, z nich 90 %, tedy 9 dostane pozitivní nález
  • Podil nemocných ze všech pozitivních nálezů je tedy 9 / (99 + 9) = 8 %

Každá pravděpodobnost je podmíněná

Co by mohl tento výrok znamenat?

Bayesova věta

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)} \;\;\;\;\;[Bayesova\;věta] \] Pomáhá počítat s podmíněnou pravděpodobností. Odvozena přímo se základního vzorce.

Symetricky:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \;\;\;\;\;[2] \] \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \;\;\;\;\;[3] \] Tedy ze [3] plyne:

\[ P(A \cap B) = P(B|A)*P(A) \;\;\;\;\;[4] \] Ze vzorce [4] plyne, že dosazením výrazu \(P(B|A)*P(A)\) za \(P(A \cap B)\) ve vzorci [2] získáme Bayesovu větu.

Příklad na využití Bayesovy věty

  • Spáchán trestný čin.
  • Svědek: “pachazel byl Asiat”
  • Ve městě žije 15% Asiatů

Policie podrobí svědka pokusu na jeho spolehlivost (za podobného osvětlení mu v náhod. pořadí přivádějí k rozpoznání Asiaty / ne Asiaty). Svědek má přesnost 80 % jak ve správném určení Asiatů, tak ne-Asiatů.

Jaká je pravděpodobnost, že pachatel byl Asiat?